归纳法证明不等式

第一篇：数学归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式的本质

数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。

这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求证：

本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12

2k?1?11?中k??右k即证k?2? 2?12

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k?1?1?左k??中k即证?k?2 22?1

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现， 且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时，可记

?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导

n?k?1成立，可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?左k??右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

第二篇：归纳法证明不等式

归纳法证明不等式

由于lnx>0则x>1

设f(x)=x-lnxf'(x)=1-1/x>0

则f(x)为增函数f(x)>f(1)=1

则x>lnx

则可知道等式成立。。。。。。。。。(运用的是定理，f(x),g(x)>0.且连续又f(x)>=g(x).则在相同积分区间上的积分也是>=)

追问

请问这个“定理”是什么定理?

我是学数学分析的，书上能找到么?

回答

能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。。。。

叫做积分不等式性

数学归纳法不等式的做题思路：1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明

2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。)

3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当n=1,1<2显然假设n=k-1的时候成立即1+1/√2+1/√3+...+1/√(k-1)<2√(k-1)则当n=k时，

1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k<2√(k-1)+1/√k如果有2√(k-1)+1/√k<2√k就可，只要1/√k<2√k-2√(k-1)=2(√k-√(k-1)=2/，即只要√(k-1<√k,而这显然。所以1+1/√2+1/√3+......+1/√n>2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2时代入成立

(2)假设n=a时候成立

则n=a+1时

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同项一共有2^a个

所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2

因为f(2^a)>(a+2)/2故上面大于<(a+1)+2>/2

因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)

“1/2^2”指2的平方分之1

证明：数学归纳法：

1、∵当n=2时有1/2^2=1/4<1-1/2=1/2

∴符合原命题。

2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2<1-1/k(k≥2，k∈n+)成立，

则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2<1-1/k+1/(k+1)^2=(k^3+k^2-1)/(k(k+1)^2)<(k^3+k^2)/(k(k+1)^2)=k/(k+1)=1-1/(k+1)∴原命题成立

综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2<1-1/n(n≥2，n∈n+)成立!!。

第三篇：用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注：www.)的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。

重点、 难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程：

一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。

②假设n=k时，（k∈n，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。

（1）学生思考讨论。

（2）师生总结： 1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，

违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)

例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。 ｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）学生观察思考 （2）师生分析

（3）解：从第5项起，an ＜ bn ，即 n2＜2,n∈n+（n≥5）

证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。 （2）假设当n=k（k≥5）时命题成立 即k＜2

当n=k+1时，因为

（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1时，命题成立。

由（1）（2）可知n2＜2n（n∈n+，n≥5）

学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2

②归纳假设：2k<2×2

例2

证明不等式│sin nθ│≤n│sinθ│(n∈n+)

k n

n2

2k

分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k≥1）时命题成立， 即有│sin kθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时，

│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│ ≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│ =│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│ ≤│sin kθ│+│sin θ│ ≤k│sinθ│+│sin θ│ =（k+1）│sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│

②三角函数的有界性：│sinθ│≤1,│cosθ│≤1 ③三角函数的两角和公式。

（板书）例3 证明贝努力（bernoulli）不等式:

如果x是实数且x＞-1，x≠0,n为大于1的自然数，那么有（1+x）＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n）

②哪个字母与自然数有关？(n是大于1的自然是数)

（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）=1+2x+x，右边=1+2x，因x＞0，则原不等式成立．

（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）

（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）＞1+kx． 师：现在要证的目标是（1+x）＞1+（k+1）x，请同学考虑．

生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当

k+1k

n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）=（1+x）（1+x），因为x＞

k

-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

师：现将命题转化成如何证明不等式 （1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 显然，上式中“=”不成立．

k+1

k2

n

故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？

生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．

（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）

生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法． （1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx-1-kx-x

=kx＞0（因x≠0，则x＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生：也可采用综合法的放缩技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx=1+（k+1）x+kx．

因为kx＞0，所以1+（k+1）x+kx＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生：……

（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）

师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．

（板书）将例3的格式完整规范．

证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）=1+2x+x＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立， 即有（1+x）＞1+kx 当n=k+1时，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）＞（1+x）（1+kx）

k

k

=1+x+kx+ kx＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立

由①②可知，贝努力不等式成立。

（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的） 三、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标． 四、课后作业

1．课本p53：1，3，5 2．证明不等式：

第四篇：数学归纳法证明不等式学案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.

一、知识情景：

关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取时命题( 即n＝n?时命题成立) (归纳奠基）

20.假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题(归纳递推）.

30. 由10、20知，对于一切n≥n?的自然数n命题！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

二、数学归纳法的应用：

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

例2证明贝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.

1；

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,那么它们的和a1?a2???an≥n.

三、当堂检测

1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

（2）求满足不等式(1?1n

n

)?n的正整数n的范围。

2、用数学归纳法证明

2n?2?n2(n?n*)．

§2.3用数学归纳法证明不等式作业纸班级姓名

1、用数学归纳法证明3≥n(n≥3,n∈n)第一步应验证()

a.n=1b.n=2c.n=3d.n=4 2、观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……｛bn=2｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… k

2n

3、用数学归纳法证明：对于任意大于1的正整数n，不等式122?132???1n?1n

?n都成立。

4、若a、b、c三个正数成等差数列，公差d?0，自然数n?2，求证：an?cn?2bn

。

第五篇：数学归纳法证明不等式教案

§2.3用数学归纳法证明不等式

学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2.重、难点：应用数学归纳法证明不等式.

一、知识情景：

1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10.验证n取第一个值时命题成立( 即n＝n?时命题成立) (归纳奠基） ；

20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）.

30. 由10、20知，对于一切n≥n?的自然数n命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

二、数学归纳法的应用：

例1. 用数学归纳法证明不等式sinn?≤nsin?.（n?n?）

证明：（1）当 n=1时，上式左边=│sinθ│=右边，不等式成立。

（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，即有│sin kθ│≤k│sinθ│

当n=k+1时，│sin （k+1）θ│=│sin kθcosθ+cos kθsin θ│

≤│sin kθcosθ│+│cos kθsin θ│

=│sin kθ││cosθ│+│cos kθ││sin θ│

≤│sin kθ│+│sin θ│≤k│sinθ│+│sin θ│=（k+1）│sinθ│

所以当n=k+1时，不等式也成立。

由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n均成立。

例2． 证明贝努力（bernoulli）不等式:

已知x?r,且x> ?1，且x?0，n?n*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx.

证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。

（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即有（1+x）k＞1+kx

当n=k+1时，

（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x 所以当n=k+1时，不等式成立

由（1）（2）可知，贝努力不等式成立。

例3 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,?,an的乘积a1a2?an?1,

那么它们的和a1?a2???an≥n.

三、当堂检测

1、（1）不等式2n?n4对哪些正整数n成立？证明你的结论。

1（2）求满足不等式(1?)n?n的正整数n的范围。n

n2*2?2?n(n?n)． 2、用数学归纳法证明

证明：（1） 当n=1时， 2?2?1，不等式成立； 当n=2时， 2?2?2，不等式成立；当n=3时， 2?2?3，不等式成立．

*n?k(k?3,k?n)时不等式成立，即 2k?2?k2． （2）假设当

k?1k222则当n?k?1时， 2?2?2(2?2)?2?2k?2?(k?1)?k?2k?3， 122232

2kk?3∵，∴?2k?3?(k?3)(k?1)?0，（*）

k?1222k?122?2?(k?1)?k?2k?3?(k?1)2?2?(k?1)从而， ∴． 即当n?k?1时，不等式

也成立． 由（1），（2）可知，2?2?n对一切n?n都成立．

四、课堂小结

1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．

2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．

n2*